<T->
          Matemtica e realidade
          9 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Sexta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4442
          Fax: (21) 3478-4444  
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1069-4
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
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          270 -- Pinheiros 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
Sumrio

Sexta Parte

<F->
Unidade 6 -- Polgonos 
  e circunferncia
Captulo 20- Lado e 
  aptema de polgonos 
  regulares ::::::::::::::: 623
Quadrado inscrito :::::::: 623
Hexgono regular 
  inscrito :::::::::::::::: 624
Tringulo equiltero 
  inscrito :::::::::::::::: 625
Construo de polgonos 
  regulares inscritos ::::: 632
Matemtica no tempo -- 
  Polgonos regulares :::: 637
Captulo 21- Comprimento
  da circunferncia e do 
  arco :::::::::::::::::::: 645
A circunferncia e o seu 
  dimetro :::::::::::::::: 645
Comprimento da 
  circunferncia :::::::::: 648
Comprimento de um arco ::: 655
<p>
Captulo 22- rea do 
  crculo e de suas 
  partes :::::::::::::::::: 664
rea do crculo :::::::::: 665
rea do setor circular ::: 668
rea da coroa circular ::: 670
Matemtica no tempo -- 
  Nmero ^p :::::::::::::: 683

Unidade 7 -- Funes 
Captulo 23- Tabelas, 
  frmulas e grficos ::::: 690 
Representao grfica 
  da funo ::::::::::::::: 702
<F+>
<218>
<T mat. realidade 9>
<t+623> 
<R+>
<F->
Unidade 6 -- Polgonos e 
  circunferncia

Captulos:
20- Lado e aptema de polgonos regulares
21- Comprimento da 
  circunferncia e do arco
22- rea do crculo e de suas partes

Unidade 7 -- Funes 

Captulo:
23- Tabelas, frmulas e grficos
<F+>
<R->

Captulo 20- Lado e aptema 
  de polgonos regulares

<R+>
Quadrado inscrito 
<R->

  Neste captulo, vamos continuar o estudo de polgonos regulares e aprender a calcular o lado e o aptema desses polgonos _`[no representados_`].
<p>
  Vamos calcular o lado `(l4`) e o aptema `(a4`) de um quadrado 
inscrito numa circunferncia de raio *r* conhecido. 
 Clculo do lado: l4 
  Aplicando a relao de 
 Pitgoras no tringulo {o{a{b, temos: 
 l42=r2+r2 :> l42=
  =2r2 :> l4=r2 
 Clculo do aptema: a4 
 a4+a4=l4 :> 2a4=l4 
  :> a4=l4~2 
  Substituindo l4, vem: 
 a4=r2~2

Hexgono regular inscrito 

  Vamos calcular o lado `(l6`) e o aptema `(a6`) de um hexgono regular inscrito numa circunferncia de raio *r* conhecido. 
 Clculo do lado: l6 
  No tringulo {o{a{b, temos:
 :?{a{o{b*=360~6=60 
 ^c?{o{a*==^c?{o{b* :> :A==:B
<p>
  Logo, :A=:B=:O=60 e o tringulo {o{a{b  equiltero. 
  Ento, o lado  igual ao raio:
 l6=r
 Clculo do aptema: a6 
  O aptema do hexgono  a altura do tringulo equiltero {o{a{b de lado *r*. 
  Portanto: 
 a6=r3~2
<219>

Tringulo equiltero inscrito 

  Vamos calcular o lado `(l3`) e o aptema `(a3`) de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia de raio *r* conhecido. 
 Clculo do lado: l3 
  Traamos o dimetro ^c?{a{d*. 
  Se ^c?{b{c*  o l3, ento ^c?{c{d*  o l6 e, como l6=r vem {c{d=r. 
  Por estar inscrito numa semicircunferncia, o tringulo {a{c{d  retngulo em C. Aplicando a 
<p>
relao de Pitgoras no tringulo {a{c{d, vem: 
<R+>
<F->
l32=`(2r`)2-r2 :> l32=
  =3r2 :> l3=r3
 Clculo do aptema: a3 
:?{b{a{c*=60 :> :?{b{o{c*=
  =120 :> :?{b{o{e*=60 
{o{e~{o{b= cos 60 :> a3~r=
  =1~2 :> a3=r~2 

Exerccios

79. Calcule o lado e o aptema de um quadrado inscrito em uma circunferncia de 52 cm de raio.
80. Uma mesa tem forma quadrada com 2 m de lado. A que distncia da borda da mesa fica um paliteiro colocado bem no centro?  
81. Calcule a rea de um quadrado inscrito numa circunferncia de raio 5 cm. 
82. Determine o raio de uma circunferncia, sabendo que o permetro do quadrado inscrito  80 cm.  
<p>
83. Calcule a rea do quadrado da figura _`[no representada_`], 
  sabendo que o raio da circunferncia mede 5 cm. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

<220>
84. Calcule o comprimento de uma pista de *cooper* que tem a forma de um hexgono regular cujos lados tangenciam um jardim circular com 253 m de raio.  
85. Calcule o aptema de um hexgono regular que tem permetro de 18 cm.  
86. Calcule quantos metros quadrados de grama so necessrios para gramar uma praa em forma de hexgono regular de modo que a distncia do centro da praa a cada vrtice do hexgono seja 20 m. 
<p>
87. O lado de um hexgono regular inscrito numa circunferncia 
  mede 82 cm. Determine o aptema do quadrado inscrito na mesma circunferncia.  

88. No hexgono regular {a{b{c{d{e{f da figura _`[no representada_`], o lado mede 5 cm. Calcule: 
a) o aptema;  
b) o raio da circunferncia inscrita; 
c) a diagonal ^c?{a{c*. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
89. O aptema de um hexgono regular mede 73 cm. Determine o permetro do hexgono.  
90. O lado de um tringulo equiltero mede 10 cm. Determine o raio da circunferncia circunscrita e o aptema. 
<p>
91. Dado um tringulo equiltero de 6 cm de altura, calcule: 
a) o raio da circunferncia inscrita;   
b) o lado;    
c) o aptema;
d) o raio da circunferncia circunscrita. 

92. Calcule a rea do tringulo equiltero da figura _`[no representada_`], sabendo que o raio da circunferncia mede 8 cm. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<221>

<R+>
<F->
93. O aptema de um tringulo equiltero mede 3 cm. Determine o lado do tringulo.

94. Determine o raio do crculo e o aptema do polgono regular 
<p>
  inscrito nele, sendo 6 m o lado do polgono, nos casos seguintes. 
a) quadrado; 
b) hexgono; 
c) tringulo. 

_`[Figuras no representadas_`]

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

95. Determine a rea dos seguintes polgonos: 
a) quadrado inscrito em uma circunferncia de 5 m de raio; 
b) hexgono regular inscrito em uma circunferncia de 4 m de raio; 
c) tringulo equiltero inscrito em uma circunferncia de 6 m de raio. 

96. Determine, em cada caso, o raio da circunferncia inscrita 
<p>
  no polgono regular, sabendo que o lado do polgono mede 6 cm. 

_`[{figuras no representadas_`]

97. Determine a rea dos seguintes polgonos: 
a) quadrado circunscrito a uma circunferncia de 5 m de raio;  
b) hexgono regular circunscrito a uma circunferncia de 4 m de raio;
c) tringulo equiltero circunscrito a uma circunferncia de 6 m de raio. 

98. O lado de um quadrado inscrito numa circunferncia mede 56 cm. Determine o aptema do hexgono regular inscrito na mesma circunferncia.  
99. O lado de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia mede 83 cm. Determine o permetro do hexgono regular inscrito na mesma circunferncia. 
100. Um tringulo equiltero, um quadrado e um hexgono regular tm o mesmo permetro, que  48 cm. Qual deles tem a maior rea? E a menor? 
<F+>
<R->

Construo de polgonos regulares 
  inscritos 

  Nas construes a seguir vamos aprender como fazer a diviso de uma circunferncia em partes congruentes e construir polgonos regulares inscritos. 
<222>

<R+>
Construo 8

_`[{as figuras da Construo 8 no foram representadas_`]
<R->
 
Diviso da circunferncia em 
  quatro partes congruentes 

  Dada uma circunferncia, vamos dividi-la em quatro partes congruentes e construir um quadrado inscrito na circunferncia. Use rgua e compasso. 
<R+>
<F->
1- Marcamos um ponto A em qualquer lugar da circunferncia. 
2- Traamos a reta ~:,?{o{a* e chamamos de C o outro ponto em que essa reta corta a circunferncia. 
3- Construmos a mediatriz do segmento ^c?{a{c* e chamamos de B e D os pontos em que a mediatriz corta a circunferncia. 
4- {a{b{c{d  o quadrado procurado. 
<F+>
<R->

Construo 9
 
<R+>
_`[{as figuras da Construo 9 no foram representadas_`]
<R->

Diviso da circunferncia em 
  trs partes congruentes 

  Dada uma circunferncia, vamos dividi-la em trs partes congruentes e construir um tringulo equiltero inscrito na circunferncia. Use rgua e compasso. 
<p>
<R+>
<F->
1- Marcamos um ponto P em qualquer lugar da circunferncia. 
2- Traamos a reta ~:,?{o{p* e chamamos de C o outro ponto em que essa reta corta a circunferncia. 
3- Com centro em P e raio ^c?{p{o*, construmos um arco de circunferncia e chamamos de A e B os pontos em que ele corta a circunferncia. 
4- {a{b{c  o tringulo equiltero procurado. 
<F+>
<R->
<223>

Construo 10 

<R+>
_`[{as figuras da Construo 10 no foram representadas_`]
<R->

Diviso da circunferncia em 
  seis partes congruentes 

  Dada uma circunferncia, vamos dividi-la em seis partes congruentes e construir um hexgono regular inscrito na circunferncia. Use rgua e compasso. 
<p>
<R+>
<F->
1- Marcamos um ponto A em qualquer lugar da circunferncia. 
2- Traamos a reta ~:,?{o{a* e chamamos de D o outro ponto em 
  que essa reta corta a circunferncia. 
3- Com centro em A e raio ^c?{a{o*, construmos um arco de circunferncia, que corta a circunferncia dada em dois pontos, os quais chamamos B e F. Com centro em D e raio ^c?{d{o*, construmos outro arco, que corta a circunferncia dada em dois pontos, os quais chamamos C e E. 
4- O hexgono regular procurado  {a{b{c{d{e{f. 
<F+>
<R->

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 101 a 105, pea orientao ao professor_`]
<F->
 
  Nos exerccios 101 a 105, use rgua e compasso e faa as construes no caderno. 
  O octgono tem o dobro do nmero de lados do quadrado. O 
  dodecgono tem o dobro do nmero de lados do hexgono.
  
101. Construa um quadrado inscrito numa circunferncia com 3 cm de raio. 
102. Construa um hexgono regular inscrito numa circunferncia cujo raio mede 3 cm. 
103. Construa um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia cujo dimetro mede 6 cm. 
104. Construa um octgono regular inscrito numa circunferncia com 4 cm de raio. 
105. Construa um dodecgono regular inscrito numa circunferncia com 5 cm de raio. 
<F+>
<R->

Desafio 

Ajude o jardineiro 

  Um jardineiro montou um canteiro de flores com a forma de um 
<p>
hexgono regular, no qual ele quer plantar dois tipos de flores. 
  Para dividir o canteiro em duas partes de reas iguais, o que ele deve fazer? 
<224> 

Matemtica no tempo

Polgonos regulares 

  O filsofo grego Plato `(427-347 a.C.`) foi um entusiasta da Matemtica. Na entrada da Academia -- a escola que fundou em Atenas, em 387 a.C. --, ele mandou afixar o dstico " proibida a entrada dos que no sabem Geometria". Esse entusiasmo derivava de sua convico de que o estudo da Matemtica era a melhor forma de treinar o esprito e, portanto, deveria ser cultivado pelos filsofos. 
  Plato deu poucas contribuies  Matemtica, mas foi de grande importncia para o desenvolvimento dessa cincia por dois motivos: primeiro porque soube reunir, em torno de si, como amigos ou como alunos, os grandes matemticos no sculo IV a.C. e tambm porque tinha uma viso que ainda hoje  bastante acatada: para ele, a 
 Matemtica sempre existiu, antes mesmo do homem, como parte de um universo eterno de ideias. Assim, para ele, os objetos da 
 Matemtica eram entidades imateriais. 
  Segundo Plato, a reta e a circunferncia, alm de imateriais, eram as duas nicas figuras perfeitas. Talvez tenha sido esse o motivo pelo qual, em algum momento, passou-se a exigir que somente rgua (sem escalas) e compasso fossem usados nas construes geomtricas: a rgua para traar segmentos de reta e o compasso para traar circunferncias. 
  Na obra *Elementos*, Euclides `(c. 300 a.C.`) manteve essa restrio na construo do tringulo equiltero, do quadrado, do pentgono, do hexgono, do decgono e do pentadecgono, entre outras figuras. O estudo do pentgono ocupa um lugar de realce nessa obra, talvez porque o smbolo da irmandade pitagrica (seguidores de Pitgoras) era o pentagrama ou pentgono estrelado. 
  O filsofo grego Jmblico (sc. IV d.C.) conta a histria de um pitagrico que adoeceu em uma hospedaria distante, onde veio a falecer. Antes, porm, entalhou um pentagrama numa tbua e pediu que fosse colocada em lugar visvel. Tempos depois, outro viajante pitagrico esteve na mesma hospedaria e, vendo o pentagrama, foi inteirar-se da histria. Depois de saber o ocorrido, resolveu recompensar o dono da hospedaria por ter amparado seu irmo de seita no fim da vida. 
  Mas, afinal, por que Euclides ignorou polgonos regulares como 
<p>
os de 8, 12, 16, 17, 9 e 13 lados? Talvez porque os trs primeiros, fossem muito fceis de 
construir e os outros, por dificuldades insuperveis para a 
 Matemtica da poca. 
  Depois de Euclides, o estudo dos polgonos regulares s foi retomado com sucesso na ltima dcada do sculo XVIII, pelo alemo Karl Friedrich Gauss (1777-1855). 
  Desde muito criana, Gauss revelou-se um prodgio matemtico excepcional. Quando adulto, dizia, s vezes, que tinha aprendido a contar antes de aprender a falar. Aos 19 anos de idade, conseguiu demonstrar um resultado notvel e surpreendente: que o heptadecgono regular (17 lados) pode ser construdo com rgua e compasso apenas. Esse resultado, por si s, bastaria para colocar seu nome na histria da Matemtica. 
<225>
<p>
  Motivado por esse feito, Gauss resolveu se consagrar  
 Matemtica. Acabou abraando tambm a Astronomia, tornando-se um dos maiores matemticos e astrnomos de todos os tempos. Mais tarde, em sua carreira, retomou a questo dos polgonos regulares de maneira mais abrangente, demonstrando que um polgono regular de *p* lados (em que *p*  primo) pode ser construdo com rgua e compasso se, e somente se, *p* puder ser colocado na forma p=2`(2m`)+1, em que *m*  inteiro.  o caso do heptadecgono, j que 17=
 =2(22)+1. A teoria de Gauss abrange tambm nmeros no primos e por ela pode-se provar que o enegono regular, por exemplo, no pode ser construdo com rgua e compasso apenas. Esse ltimo fato certamente nunca passou pela cabea de Euclides. 
<p>
  Brunswick, a cidade natal de Gauss, um dia resolveu homenagear seu filho mais ilustre. A dvida era de que maneira, j que tantas e to marcantes foram as suas contribuies  cincia. Por fim, foi decidido usar o nmero 17 como motivo. E como um heptadecgono regular esculpido em pedra se pareceria muito com um crculo, a cidade optou por construir um monumento em forma de estrela com 17 pontas. 

Explorando a leitura 

<R+>
1. Dado um quadrado, como voc faria para construir, com rgua e compasso apenas, um octgono regular com o mesmo centro? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
2. Usando o resultado de Gauss, verifique se podem ser construdos com rgua e compasso os polgonos regulares de 7, 13, 23, 29, 257 lados (todos esses nmeros so primos). 

3. Segundo a viso de Plato, qual das afirmaes  correta? 
a) O homem cria a Matemtica. 
b) O homem descobre a 
  Matemtica. 

4. Conta-se que, com cerca de 12 anos de idade, Gauss conseguiu resolver, quase imediatamente, um "difcil" problema, proposto pelo professor para manter a classe ocupada: efetuar a soma 1+2+3+...+98+99+
  +100. Ele teria percebido que 1+100=2+99=3+98=...=101. 
  Usando esse fato, calcule a soma dada, com uma operao apenas. 
<p>
5. Em 1801, o astrnomo italiano G. Piazzi descobriu o planeta menor Ceres. Mas logo o perdeu de vista e nenhum astrnomo conseguia localiz-lo. No mesmo ano, com os poucos dados de observao disponvel, Gauss calculou matematicamente a rbita de Ceres. Pesquise sobre a localizao desse planeta e seu dimetro. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<226>
<p>
Captulo 21- Comprimento da 
  circunferncia e do arco 

Moldando o arame 

  Do arame utilizado para cercar o canteiro, sobrou um pedao de 10 cm de comprimento. Helena decidiu mold-lo na forma de uma circunferncia: 
  Queremos saber: qual  a medida do dimetro? E do raio? 
  Se desejssemos obter uma circunferncia de 50 cm de dimetro, qual deveria ser o comprimento do arame? 
  Em outras palavras, queremos saber o seguinte: se o dimetro  50 cm, qual  o comprimento da circunferncia? 
<227>

A circunferncia e o seu dimetro

  Antes de responder a essa pergunta, vamos procurar compreender a noo matemtica de comprimento de uma circunferncia. 
<p>
  Para isso, com ajuda de uma calculadora, calculamos os permetros de alguns polgonos regulares inscritos (com lado *l*) e circunscritos (com lado l) numa circunferncia de dimetro 50 cm (portanto, raio r=25 cm). Os resultados esto na tabela a seguir. 

<R+>
_`[{tabela adaptada. As figuras no foram representadas, contedo a seguir_`]
<R->
<F->
<R+>
polgono: permetro do polgono inscrito; permetro do polgono circunscrito.
tringulo equiltero: l=r3^=43,3 cm 2p=
  =3l^=129,9 cm; l=
  =2r3^=86,6 cm 2p=
  =3l^=259,8 cm.
quadrado: l=r2^=35,3 cm 2p=4l^=141,2 cm; l=2r=
  =50 cm 2p=4l=200 cm.
<p>
hexgono regular: l=r=25 cm 
  2p=6l=150 cm; l=
  =2r3~3^=28,8 cm 2p=6l^=172,8 cm.
octgono regular: 
  l=r?2-2*^=19,1 cm 
  2p=8l^=152,8 cm; l=
  =2r`(2-1`)^=20,7 cm 2p=
  =8l^=165,6 cm.
O nmero de lados aumenta: o permetro aumenta; o permetro diminui.
<R->
<F+>

  Podemos notar que o permetro de um polgono inscrito em determinada circunferncia `(2p`)  menor do que o permetro de um polgono circunscrito `(2p`) a essa mesma circunferncia: 
 2p <2p 
<228>
  Alm disso, quando o nmero de lados aumenta, o permetro do polgono inscrito aumenta, e o permetro do polgono circunscrito diminui: 
<p>
 2p <2p 
 2p vai aumentando 
 2p vai diminuindo
  Se tomssemos polgonos regulares com nmero de lados muito grande, os permetros seriam aproximadamente iguais a um valor C, que  o comprimento da circunferncia. 
<R+>
 2p^=C^=2p (para polgonos com grande nmero de lados) 
<R->

  ^= l-se: "aproximadamente igual a"

Comprimento da circunferncia        

  Vamos considerar uma circunferncia de raio *r* e calcular as razes 2p~2r e 2p~2r (permetro ~ dimetro).

<R+>
_`[{tabela adaptada em trs colunas, contedo a seguir_`]
<F->
1 Coluna: nmero de lados do polgono; 
2 Coluna: 2p~2r; 
3 Coluna: 2p~2r.
<p>
3; ?3r3*~2r^=2,6; 6r3~2r^=5,20.
4; 4r2~2r^=2,83; 8r~2r^=4,00.
6; 6r~2r=3,00; 4r3~2r^=3,46.
8 :> (aumenta); 4?2-2*^=3,06 
  :> (aumenta); 8`(2-1`)^=3,31 
  :> (aumenta).
<F+>
Grande nmero de lados; 2p~2r^=3,14; 2p~2r^=3,14.
<R->

  Notamos que: 
<R+>
<F->
2p~2r <2p~2r
2p~2r vai aumentando
2p~2r vai diminuindo
<F+>
<R->
  Tomando polgonos regulares com nmero de lados muito grande, essas razes sero aproximadamente iguais a um nmero irracional 3,141.592... denominado nmero ^p (l-se: "pi"). 
<p>
<R+>
 2p~2r^=^p^=2p~2r `(1`) (para polgonos com nmero muito grande de lados) 
<R->
  Quando o nmero de lados  grande, vimos que: 
 2p^=C^=2p 
<229>
  Ento: 
 2p~2r^=C~2r^=2p~2r `(2`)  
  De `(1`) e `(2`), conclumos que: 
 C~2r=^p
  Logo: 
 C=2^pr
  Traduzindo em palavras: 

  O comprimento da circunferncia  igual a 2^p vezes o raio, sendo ^p=3,141.592... 

  Respondendo s perguntas do incio do captulo, temos: 
<R+>
 O comprimento da circunferncia de dimetro 50 cm, portanto, de raio r=25 cm, : 
<R->
 C=2^pr=2^p.25 cm =50^p cm 
  Logo, C^=50 cm .3,14=
 =157 cm. 
<p>
<R+>
 Uma circunferncia tem comprimento 10 cm. Vamos calcular o raio: 
<R->
 C=2^pr :> 2^pr=10 cm :> r=
  =10 cm ~2^p :> r=5~^p cm
  Logo, r^=5 cm ~3,14=1,59 cm.
  O dimetro  aproximadamente igual a 3,18 cm. 

Exerccios

<R+>
<F->
106. Calcule o comprimento de uma circunferncia de raio r=10 cm.  
107. Calcule o comprimento de uma circunferncia cujo dimetro mede 12 cm.  
108. Calcule o raio de uma circunferncia cujo comprimento  120 cm.  
109. Quanto aumenta o raio de uma circunferncia quando seu comprimento aumenta 5 metros? 
110. Quanto aumenta o comprimento de uma circunferncia cujo raio sofreu um aumento de 50%?  
<p>
111. Com um fio de arame deseja-se construir uma circunferncia de dimetro 10 cm. Qual deve ser o comprimento do fio? 
<230>
112. Uma praa circular tem raio de 40 m. Quantos metros uma pessoa anda quando d trs voltas na praa? 
113. Um marceneiro recebeu a seguinte encomenda: uma mesa redonda que acomode oito pessoas, com um espao de 60 cm para cada pessoa. Calcule o dimetro que a mesa deve ter.  
114. Quantas voltas uma das rodas de um carro d num percurso de 60 km, sabendo-se que o dimetro dessa roda  igual a 0,60 m?  
115. Uma pista circular est limitada por duas circunferncias concntricas cujos comprimentos so, respectivamente, 3.000 m e 2.400 m. Determine a largura da pista. 
<p>
116. Calcule o comprimento da pista de atletismo esboada na figura _`[no representada_`], sabendo que r=30 m.
117. Calcule o comprimento da circunferncia inscrita em um quadrado de lado 2 cm e da circunferncia circunscrita a esse mesmo quadrado. 
118. Calcule o comprimento da circunferncia inscrita em um hexgono regular cujo lado mede 3 cm e da circunferncia circunscrita a esse mesmo hexgono.  
119. Se o raio de uma circunferncia aumenta 1 m, quanto aumenta o comprimento? 
120. Duplicando o raio de uma circunferncia, o que ocorre com seu comprimento? 
121. Os ponteiros de um relgio medem 1 cm e 1,5 cm, respectivamente. A circunferncia descrita pelo ponteiro maior tem 
<p>
  comprimento maior que a circunferncia descrita pelo ponteiro menor. Determine essa diferena. 
<122>
122. Uma menina brinca com um aro de 1 m de dimetro. Que distncia percorreu a menina ao dar 100 voltas com o aro? 
123. As rodas de um automvel tm 32 cm de raio. Que distncia percorreu o automvel depois que cada roda deu 8.000 voltas? 
124. Dando-se as mos, algumas pessoas pretendem formar uma "corrente" (circunferncia) para "abraar" (cercar) um ginsio de esportes que tem forma circular com 60 m de raio. Se cada pessoa ocupar 1 m nessa "corrente", quantas pessoas, no mnimo, so necessrias para "abraar" o ginsio? 
125. Um ciclista percorreu 26 km em 1 hora e 50 minutos. Se as rodas da bicicleta tm 40 cm 
<p>
  de raio, quantas voltas aproximadamente cada roda deu no total e quantas por minuto? 
126. As rodas dianteiras de um caminho tm 50 cm de raio e do 25 voltas no mesmo tempo em que as rodas traseiras do 20 voltas. Determine o dimetro das rodas traseiras. 
127. Um cilindro reto de base circular tem raio da base R e altura H. Quando planificamos sua superfcie, obtemos a figura _`[no representada_`]. Calcule a medida de ^c?{a{b*. 
<F+>
<R->
<232>

Comprimento de um arco 

  Como j sabemos, um arco de 60  um arco definido na circunferncia por um ngulo central de 60. 
 ngulo central :?{p{o{q* de 60 
 arco ^:?{p{q* de 60
 ngulo central de 60
 arcos de 60: ^:?{a{b*, ^:?{c{d*, 
  ^:?{e{f*
<p>
  Ao retificar os arcos das figuras e medir seus comprimentos, verificamos que, embora os arcos ^:?{a{b*, ^:?{c{d* e ^:?{e{f* tenham todos 60, os seus comprimentos so diferentes: ^:?{e{f* tem comprimento maior que ^:?{c{d* e ^:?{c{d* tem comprimento maior que ^:?{a{b*. 
  O que os arcos tm em comum  a mesma "abertura" `(60`). O comprimento de cada arco depende do raio da circunferncia que o contm, como veremos a seguir. 

Clculo do comprimento do arco 

  Observe a circunferncia _`[no representada_`]. 
  Notamos que: 
<R+>
 um arco de 120 `(^:?{a{c*`) tem o dobro do comprimento de um arco de 60 `(^:?{a{b*`); 
 um arco de 180 `(^:?{a{d*`) tem o triplo do comprimento de um arco de 60 `(^:?{a{b*`). 
<p>
<R->
  Isso significa que o comprimento do arco  diretamente proporcional  sua medida em graus. 
  Assim, para calcular o comprimento *x* de um arco de ^a graus, basta estabelecer uma regra de trs simples: 
 arco: comprimento *x*; graus *x*
<R+>
 circunferncia: comprimento 2^p.r; graus 360 
<R->
  Da, vem: 
 x~2^pr=^a~360 :> x=
  =2^pr^a~360 
 x=^p^a~180
<233>
  Veja dois exemplos: 
  Vamos calcular o comprimento de um arco de 60 de uma circunferncia de raio 2 cm. 
<R+>
<F->
arco: comprimento `(cm`) *x*; 
  graus 60
circunferncia: comprimento `(cm`) 2^p.2; graus 360 
x~4^p=60~360 :> x=
  =?4^p.60*~360 :> x=2^p~3
<F+>
<R->
  Ento, x^=?2.3,14*~3^=2,09 :> x=2,09 cm.
<p>
  Vamos calcular o comprimento de um arco de 60 de uma circunferncia de raio 3 cm. 
<R+>
<F->
arco: comprimento `(cm`) *x*; graus 60
circunferncia: comprimento `(cm`) 2^p.3; graus 360 
x~6^p=60~360 :> x=
  =?6^p.60*~360 :> x=^p 
<F+>
<R->
  Ento, x^=3,14 cm. 

Exerccios

<R+>
<F->
128. Calcule o comprimento de um arco de 75 de uma circunferncia de raio 5 cm. 
129. Determine o comprimento do arco menor ^:?{a{b* _`[no representado_`], dado o raio de 90 cm e o ngulo central correspondente. 

130. Calcule os comprimentos dos seguintes arcos: 
a) arco de 120, numa circunferncia de dimetro 8 cm; 
<p>
b) arco de 54, numa circunferncia de raio 2 cm; 
c) arco de 135, numa circunferncia de raio 12 cm; 
d) arco de 240, numa circunferncia de raio 18 cm.  
<F+>
<R->
<234>

<R+>
_`[{para os exerccios 131 e 132, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
131. Calcule o comprimento dos arcos ^:?{a{b*, ^:?{c{d* e ^:?{e{f* da figura _`[no representada_`]. 
132. Calcule o comprimento dos arcos ^:?{a{b*, ^:?{b{c*, ^:?{c{d* e ^:?{d{a* da figura _`[no representada_`], sabendo que o raio  5 cm. 
133. Calcule a medida, em graus, de um arco de 2^p cm de uma circunferncia de raio 1,5 cm.  

134. O ponteiro dos minutos de um relgio tem o comprimento de 12 cm. Qual a distncia que a 
<p>
  ponta do ponteiro percorre num intervalo de tempo de: 
a) 20 minutos? 
b) 75 minutos? 

135. Um arco de comprimento 2^pR de uma circunferncia de raio 2R subentende um arco de quantos graus?  
136. Calcule o raio de uma circunferncia, sabendo que um arco de 36 dessa circunferncia tem comprimento igual a 3 cm. 
137. Caminhando 50 metros numa praa circular, uma pessoa descreve um arco de 72. Qual  o raio da praa?  
138. Uma corda ^c?{a{b*, distando 3 cm do centro de uma circunferncia de dimetro 12 cm, determina nessa circunferncia dois arcos. Qual a razo entre a medida do maior e a do menor arco desse crculo?  
<p>
139. Uma corda determina em uma circunferncia um arco que mede 80. Sendo 20 cm o comprimento desse arco, determine a medida do raio desse crculo. 
<235>

_`[{para os exerccios 140 a 145, pea orientao ao professor_`]

140. Um cone reto de base circular tem raio da base R e geratriz G. Quando planificamos sua superfcie lateral, obtemos um setor circular. Calcule a medida *x* do ngulo central. 
141. Na figura _`[no representada_`], as trs polias tm mesmo raio *r* igual a 10 cm. Determine o comprimento da correia que envolve as trs polias. 
142. Determine o comprimento da linha cheia _`[no representada_`], sabendo que os arcos so centrados em O1, O2 e O3.
<p>
143. Na figura _`[no representada_`], determine o comprimento da corrente que envolve as duas rodas, sabendo que: o raio da roda menor mede 2 cm; o raio da roda maior, 4 cm; e a distncia entre os centros das duas rodas, 12 cm.  
144. Determine o comprimento da linha cheia _`[no representada_`], sabendo que os arcos so centrados em O1, O2 e O3 e o tringulo {a{o1B  equiltero com 12 cm de lado. 
<236>
145. Se os ngulos de vrtices O1, O2, O3, O4 e O5 medem, respectivamente, 90, 72, 135, 120 e 105 e os raios das circunferncias de centros nesses vrtices medem, respectivamente, 18 cm, 35 cm, 24 cm, 36 cm e 48 cm, determine o comprimento da linha cheia {a{b _`[no representada_`]. 
<F+>
<R->
<p>
Desafio 

Dando um lao na Terra 

  A Terra tem a forma aproximada de uma esfera (bola), e a linha do Equador tem a forma de uma circunferncia cujo dimetro  12.756 km. 
  Se fosse possvel colocar uma corda a 1 m do cho, dando a volta na Terra, na linha do 
 Equador, quantos metros de comprimento essa corda deveria ter mais que o 
Equador? 

               ::::::::::::::::::::::::
<237>
<p>
Captulo 22- rea do crculo e 
  de suas partes 
  
  Veja, nas figuras _`[no representadas_`], dois polgonos regulares inscritos numa circunferncia de raio *r*. 
  Observe o que acontece quando aumentamos o nmero de lados de polgonos inscritos. 
  Perceba que,  medida que o nmero de lados dos polgonos regulares inscritos aumenta: 
<R+>
<F->
 as formas dos polgonos regulares vo se aproximando da forma circular. 
 as reas dos polgonos regulares inscritos vo crescendo e se aproximando da rea do crculo. 
 os permetros `(2p`) dos polgonos regulares inscritos vo se aproximando do comprimento da circunferncia `(2^pr`), e os aptemas `(a`) vo se aproximando do raio `(r`). Logo, as 
<p>
  reas dos polgonos vo se aproximando de A= (semiperme-
  tro)  (aptema) =p.a=
  =2^pr~2.r=^pr2.
<F+>
<R->

rea do crculo 

  Por isso, dizemos que o nmero do qual as reas dos polgonos se aproximam `(^pr2`)  a rea do crculo. 
 A=^p.r2 
  Veja um exemplo: 
  A rea do crculo de raio 3 cm  dada por: 
 A=^p.r2=^p.32=9^p 
  A rea desse crculo  9^p cm2 (aproximadamente 28,3 cm2). 
<238>

Exerccios

<R+>
<F->
146. Calcule a rea de um crculo que tem: 
a) raio de 5 cm; 
b) dimetro de 4 cm.  
<p>
147. Determine a rea do crculo nos casos _`[no representados_`]. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

148. Calcule a rea do crculo cuja circunferncia tem comprimento 6^p cm.  

_`[{para os exerccios 149 a 159, pea orientao ao professor_`]

149. Calcule o permetro e a rea do semicrculo da figura _`[no representada_`].  
150. Calcule a rea da superfcie colorida _`[no representada_`], em que r=1 cm. 
<239>
151. Calcule a rea da regio colorida _`[no representada_`].  
152. Calcule a rea colorida da figura _`[no representada_`], sabendo que {r{i{c{o{t{a  um hexgono regular de lado 6 m. 
153. O aptema do tringulo equiltero {c{d{f _`[no representado_`] inscrito no crculo mede 3 cm. Calcule a rea da superfcie colorida.  
154. Calcule a rea da parte colorida _`[no representada_`], sabendo que o quadriltero dado  um quadrado. 
155. Calcule a rea da superfcie colorida _`[no representada_`], sendo dado r=1 cm. 
<240>
156. Calcule a rea da superfcie colorida _`[no representada_`], sendo {l{a{d{o um quadrado.  
157. Calcule a rea de um semicrculo que tem permetro `(^p+2`).3 cm.  
158. Determine a rea da superfcie colorida _`[no representada_`], em funo do raio *r* do crculo inscrito no tringulo equiltero {i{t{a. 
159. Nas figuras _`[no representadas_`], {d{i{c{a so quadrados de permetro 16 cm. Determine as reas das regies coloridas. 
<F+>
<R->
<p> 
rea do setor circular 

  Em uma circunferncia de centro O _`[no representada_`], est destacado um ngulo central de medida *x*, que determina um arco ^:?{p{q*. Chama-se 
setor circular o conjunto dos pontos que so interiores  circunferncia e ao ngulo *x*, reunidos com os pontos de ^c?{o{p*, ^c?{o{q* e ^:?{p{q*. 
<241>
  Vamos comparar as reas de alguns setores circulares de um mesmo crculo, tomando os ngulos centrais *x*, 2x, 3x, 4x. 
  Podemos observar que, se a medida do ngulo central dobra (de *x* para 2x), a rea do setor dobra; se a medida do ngulo central triplica (de *x* para 3x), a rea do setor triplica, e assim por diante. 
  Num crculo de raio *r* fixado, a rea do setor  diretamente proporcional  medida do ngulo central. 
<p>
  Se a medida do ngulo estiver em graus, calculamos a rea pela regra de trs. 
 setor: rea `(cm2`) A 
 crculo: rea ^p.r2
 ngulo central (graus): 360 
  Da, vem:
 A~^pr2=x~360
  Portanto, a rea do setor circular : 
 A=x~360.^pr2
  Observe o exemplo: 
  Vamos calcular a rea de um setor circular de 60 num crculo de raio 2 cm. 
<R+>
<F->
setor: rea `(cm2`) A
setor: ngulo central (graus) 60
crculo: rea `(cm2`) ^p.22 
ngulo central (graus): 360
A~4^p=60~360 
  :> A=?4^p60*~360=2^p~3
<F+>
<R->
  A rea desse setor circular  2^p~3 cm2 (aproximadamente 2,10 cm2).
<242>
<p>
rea da coroa circular 

  Dadas duas circunferncias 
 _`[no representadas_`] concntricas 
com raios 
R e *r*, sendo R > r, chama-se coroa circular o conjunto dos pontos internos  circunferncia de raio R e externos  de raio *r*, reunidos com os pontos das duas circunferncias. 
  A rea da coroa  igual  diferena entre as reas dos crculos de raios R e *r*. 
 A=^pR2-^pr2 
  Observe um exemplo: 
  A rea da coroa circular de raios 5 cm e 3 cm : 
 A=^pR2-^pr2=^p.52-^p.
  .32=25^p-9^p=16^p 
  Portanto, a rea dessa coroa circular  16^p cm2 (aproximadamente 50 cm2). 

Exerccios

<R+>
160. Calcule a rea de um setor circular de 108 e raio 4 cm.  
<R->
<p>
<R+>
_`[{para os exerccios 161 a 165, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
161. Determine a rea de cada superfcie colorida nos casos 
  _`[no representados_`], sendo 6 m o valor do raio. 
<243>
162. Calcule a rea da regio colorida das figuras _`[no representadas_`]. 
163. Calcule a rea da superfcie colorida nas figuras _`[no representadas_`]. 
164. Calcule a rea da coroa circular da figura _`[no representada_`].  
165. Determine a rea da coroa circular nos casos _`[no representados_`]. 
166. Uma toalha redonda de dimetro 1,40 m est estendida numa mesa redonda de dimetro 1,00 m. Qual  a rea da parte da toalha que fica pendurada na mesa?  
<p>
_`[{para os exerccios 167 a 172, pea orientao ao professor_`]

167. Uma piscina tem a forma indicada na figura _`[no representada_`], com r=2,4 m. Calcule a rea da sua superfcie. 
<244>
168. Calcule, em cada item _`[no representado_`], a rea da superfcie colorida. 
169. Calcule a rea da superfcie colorida _`[no representada_`]. 
170. As duas superfcies _`[no representadas_`] so equivalentes. Calcule *r*.  
171. As duas superfcies coloridas _`[no representadas_`] tm a mesma rea. Calcule a medida do ngulo *x*.  
172. Calcule, em cada item _`[no representado_`], a rea da superfcie colorida. 
<F+>
<R->
<245>
<p>
Matemtica em notcia

  Leia o texto a seguir e fique sabendo da novidade que ronda os ares. 

O maior avio da histria 

  Airbus lana aeronave com capacidade para 800 passageiros e acirra a briga com a Boeing, que aposta em modelos menores. 
  O gigante A380, que deve comear a voar comercialmente em 2006, tem cabine dupla, poltronas especiais com televisores individuais, *free shop*, dormitrios e bar: na briga com a Boeing, as armas da Airbus para voos de longa distncia so grandes avies e preo baixo. 

(*Veja*, 19/5/2004.) 
<p>
A380 no Brasil 

  A estreia do gigante em aeroportos brasileiros aconteceu no dia 10 de Dezembro de 2007 no Aeroporto Internacional de 
 Guarulhos em SP, vindo de 
 Buenos Aires [...]. 
  O voo inaugural do A380 foi realizado no dia 25 de Outubro de 2007, entre Singapura e Sydney. 
  [...] 
  A Singapore Airlines vendeu os bilhetes do voo num leilo de beneficncia e doou os cerca de dois milhes de dlares (1,4 milhes de euros) recebidos  
 Associao do Cancro do Pulmo de Singapura, a dois hospitais infantis de Sydney e  organizao 
no-governamental Mdicos Sem Fronteiras. 

 (Disponvel em: ~,http:~
  pt.wikipedia.orgwiki~
  Airbus{-A380~, Acesso em: 
  2/4/2009.) 
<p>
  Com base nas informaes, responda: 
<R+>
<F->
a) Quantos metros de envergadura (distncia entre os extremos das asas) o A380 tem a mais que o Boeing? Quanto significa essa diferena em porcentagem? 
b) Qual  a porcentagem de reas que o A380 ocupa no aeroporto a mais que o Boeing?  
c) Quantos dlares valia 1 euro em outubro de 2007? 
d) O A380 voa a uma altitude de 12.200 m, equivalente a, aproximadamente, 40.000 ps. Quantos centmetros mede, aproximadamente, 1 p? 
<246>
<R+>
<F->

Teste seu conhecimento

1. (Escola Tcnica 
  Federal-RJ) A rea do tringulo retngulo no qual a medida da hipotenusa  13 cm e a de um dos catetos  5 cm  igual a: 
a) 128 cm2   
b) 65 cm2  
c) 30 cm2
d) 39 cm2
e) 60 cm2 

2. (F. Oswaldo Cruz-SP) Um tringulo tem lados 3x, 4x e 5x, e sua rea  48. O valor de *x* :
a) 2  
b) 22 
c) 2 
d) 2~2

3. (ESPM-SP) O retngulo {a{b{c{d tem rea igual a 60 cm2. Sabendo-se que E  um 
  ponto do lado ^c?{c{d*, podemos afirmar que a rea do tringulo {a{b{e :
a) 30  
b) 40  
c) 50
d) 403
e) 503 
<p>
4. (Faap-SP) Um *outdoor* retangular tem rea A= base  
   altura. Se a base aumenta 50% e a altura diminui 50%, ento: 
a) a rea no se altera;  
b) a rea diminuir 25%;  
c) a rea aumentar 25%; 
d) a rea aumentar 50%;
e) a rea diminuir 50%.

5. (F. Oswaldo Cruz-SP) Para pintar a parede indicada, com certa tinta, gasta-se uma lata pequena de tinta para cada 3,6 m2. 
<F+>
<R->

<F->
         6 m
       !:::::::?
       l_-     _ 
       l       _     
  6 m l       _   
       l       _   _ 
       l_-     _   _ 3 m
       h:::::::j:::j    
           10 m
<F+>
<p>
<R+>
<F->
  Para pintar a parede inteira o nmero de latas necessrio :
a) 12 
b) 15 
c) 11 
d) 1,5 

6. (USF-SP) O polgono regular cujo ngulo interno mede o triplo do ngulo externo  o: 
a) pentgono.  
b) hexgono. 
c) octgono. 
d) decgono.
e) dodecgono. 

7. Na figura a seguir, o valor de *x* : 
<F+>
<R->
<F->

     A  x  D
      !:::::?
      l    _-
      l        
  20 l         2x
      l         
      l_-        
    Bh:::::::::::eC

<F+>
<R+>
<F->
a) 125 
b) 215 
c) 225 
d) 125
e) 215 

8. (UF-ES) Um polgono regular possui a partir de cada um de seus vrtices tantas diagonais quantas so as diago-
  nais de um hexgono. Cada ngulo interno desse polgono mede em graus: 
a) 140  
b) 150 
c) 155 
d) 160 
e) 170

9. (Escola Tcnica 
  Federal-RJ) O permetro de um hexgono regular inscrito em um crculo de 25^p cm2 de rea  igual a: 
a) 150 cm   
b) 75 cm  
<p>
c) 25 cm
d) 15 cm
e) 30 cm

10. (F. Oswaldo Cruz-SP) No tringulo {m{n{p _`[no representado_`] o lado ^c?{m{n* mede 12 cm. A rea do hexgono 
  regular {a{b{c{d{e{f inscrito no tringulo, conforme a figura, , em cm2: 
a) 123 
b) 243 
c) 48 
d) 72 

11. (ESPM-SP) Uma circunferncia est inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 20 cm. O comprimento da circunferncia : 
a) ^p2 cm  
b) 5^p2 cm  
c) 10^p2 cm 
d) 20^p2 cm
e) 30^p2 cm 
<p>
12. (Escola Tcnica 
  Federal-RJ) Quando o comprimento de uma circunferncia aumenta de 8 cm para 14 cm o raio da circunferncia aumenta de: 
a) ^p~6 cm 
b) 3~^p cm  
c) ^p~3 cm 
d) 1,5 cm
e) 3 cm

13. (Fuvest-SP) Um arco de circunferncia mede 300}, e seu comprimento  2 km. Qual  o 
  nmero inteiro mais prximo da medida do raio em metros? 
a) 157  
b) 284  
c) 382
d) 628
e) 764

14. (UF-PA) 
I. Em um quadrado de permetro igual a 30 cm, sua rea  de 56,25 cm2. 
<p>
II. A rea de um crculo cujos 2~5 do raio medem 14 m  3.846 m2 `(^p=3,14`). 
III. No losango, cujas diagonais somadas medem 175 dm, a rea ser 3.675 dm2 se uma das diagonais for 2~3 da outra. 
  Assinale: 
a) se apenas I  verdadeira. 
b) se apenas III  verdadeira. 
c) se apenas I e III so verdadeiras. 
d) se todas as afirmaes so falsas. 
e) se todas as afirmativas so verdadeiras. 

15. (Acafe-SC) A rea compreendida entre uma circunferncia de raio *a* e um hexgono regular inscrito nesta circunferncia , em unidades de rea:
a) a2`(^p+33) 
b) a2`(^p-33) 
<p>
c) a2`(^p-23~3) 
d) a2`(^p-33~2)  
e) n.d.a. 

16. (Unirio-RJ) A rea da regio colorida _`[no representada_`] vale: 
a) 12^p-2 
b) 16-2^p 
c) 9-^p 
d) 8-2^p 
e) 4-^p 
<F+>
<R->
<247>

Matemtica no tempo

Nmero ^p 

  Por volta de 1750 a.C., os egpcios usavam um procedimento para o clculo da rea de um crculo que corresponde  expresso moderna `(d-d~9`)2=64d2~81 em que *d* indica o dimetro. Esse procedimento fornece resultados razoveis -- se comparados com 
<p>
aqueles obtidos com a frmula que usamos atualmente --, mas s implicitamente envolve o nmero ^p. 
  Para saber o valor subentendido para o nmero ^p na expresso anterior, basta igual-la  frmula correta para a rea de um crculo em funo do dimetro, que  A=^p`(d~2`)2=^p.d2~4. Verifica-se, ento, que a aproximao subentendida para o nmero ^p  256~81=3,160.493... Porm, os egpcios desconheciam esse nmero. 
  O sbio grego Arquimedes (287-212 a.C.) -- considerado o maior matemtico da Antiguidade -- foi o primeiro matemtico a buscar uma aproximao de ^p por mtodos cientficos. Arquimedes nasceu em Siracusa, uma importante colnia grega situada na 
 Siclia. Supe-se que ele tenha estudado em Alexandria, no Egito (que na poca era o mais importante centro cultural do mundo grego) em razo da correspondncia que manteve com intelectuais dessa cidade. De fato, 
 Arquimedes viveu a maior parte de sua vida em sua cidade natal. Alis, foi inventando mquinas de guerra para a defesa de Siracusa, durante a Segunda Guerra 
 Pnica, quando a cidade foi sitiada pelos romanos, que 
 Arquimedes se tornou realmente famoso. Mas ele gostava mesmo era de cultivar a cincia pura, especialmente a Matemtica. 
  Para obter cientificamente uma aproximao de ^p, Arquimedes considerou, sucessivamente, os permetros dos polgonos regulares de 6, 12, 24, 48 e 96 lados, inscritos em e circunscritos a uma circunferncia. Os permetros do hexgono inscrito e do circunscrito so fceis de calcular em funo do raio. A partir dos resultados obtidos, h frmulas para obter o permetro do dodecgono regular inscrito e do circunscrito. E assim por diante. 
<248>
<p>
  O permetro de um polgono regular inscrito  uma aproximao por falta do comprimento da circunferncia, assim como o permetro de cada polgono circunscrito  uma aproximao por excesso desse comprimento. Usando-se essas aproximaes indefinidamente, de um lado por falta, e de outro por excesso, chega-se prximo ao valor do comprimento da circunferncia. E, dividindo-as pelo dobro do raio, encontram-se aproximaes de ^p cada vez melhores. Foi assim que, depois de exaustivos clculos, Arquimedes mostrou que ^p encontra-se entre 3,1.408... e 3,1.428... (em dgitos modernos). 
    O mtodo de Arquimedes foi explorado mais a fundo posteriormente por outros matemticos. O holands Ludolph von Ceulen (1540-1610) passou grande parte de sua vida calculando a aproximao de ^p at a 35 casa decimal, e para isso teve de chegar at aos polgonos regulares de 262 lados. Em seu tmulo, sua esposa mandou gravar a aproximao obtida por ele. 
 3,141.592.653.589.793.238.462.
  fdc.chc.bgi.ejb.hh 
  O smbolo ^p, para indicar a razo entre a circunferncia e o dimetro, foi usado pela primeira vez numa obra de 1706, do matemtico ingls W. Jones (1675-1749), na qual ele deu, corretamente, as primeiras cem casas desse nmero. A notao ^p deriva, provavelmente, do fato de tratar-se da primeira letra da palavra "permetro", em grego. Sua adoo definitiva s se deu depois que o matemtico suo L. Euler (1707-1783) passou a us-la com o sentido atual. 
  Hoje, com mtodos matemticos mais sofisticados e com os modernos computadores, j se tm aproximaes corretas de ^p com alguns bilhes de casas decimais. Certamente, as pesquisas atuais para obter aproximaes cada vez melhores de ^p j no derivam de algum motivo prtico, ligado diretamente ao uso desse nmero, mas sim da insacivel curiosidade do esprito humano. Sem falar na sua utilidade para a checagem de programas de computador. 

Explorando a leitura 

<R+>
<F->
1. Os babilnios muitas vezes usavam um procedimento emprico que corresponde  frmula moderna A=c2~12, em que *c* denota o comprimento de uma 
  circunferncia, para obter a rea (aproximada) do crculo correspondente. Qual o valor de ^p subentendido nessa aproximao? 
2. Que cidades-estado travaram as Guerras Pnicas? Em que poca? Qual o envolvimento de Arquimedes com essa guerra? 
3. O matemtico hindu Bhaskara obteve vrias aproximaes para o nmero ^p, entre as quais 3.927~1.250, que ele considerava muito boa, 22~7, que considerava imprecisa, e 10, que achava satisfatria para trabalhos corriqueiros. At que casa decimal cada uma dessas aproximaes  correta? 
4. Em 1767, Johann H. Lambert (1728-1777), matemtico alsaciano (a Alscia hoje  uma regio da Frana), provou que o nmero ^p  irracional. O que isso significa? 
5. Imagine um lago circular cujo dimetro mede exatamente 2 km. Calcule a rea desse lago usando o procedimento descoberto pelos egpcios na Antiguidade e a aproximao correta de ^p at a segunda casa decimal. Qual a diferena entre o primeiro valor e o segundo? Percentualmente, o que isso significa? 
<F+>
<R->

               oooooooooooo


<p>
<250>
<R+>
Unidade 7 -- Funes

Captulo 23- Tabelas, frmulas e grficos
<R->

O exerccio do gerente 

  Osias  gerente financeiro de um grande banco. Para exercitar-se, costuma correr diariamente, mantendo um ritmo de 6 km por hora. 
  Quantos metros ele corre a cada minuto? 
  Como 6 km =6.000 m e 1 h =60 min, Osias corre 6.000 metros em 60 minutos, o que d 100 metros a cada minuto. 
  Veja as distncias que ele percorre conforme o tempo de corrida: 
<p>
 !:::::::::::::::::::::::
 l Tempo    _ Distncia _
 l `(min`)     _ `(m`)        _
 r:::::::::::w::::::::::::w 
 l 15       _ 1.500     _
 l 20       _ 2.000     _
 l 30       _ 3.000     _
 l 45       _ 4.500     _
 l 50       _ 5.000     _
 l 60       _ 6.000     _
 l 75       _ 7.500     _
 l 80       _ 8.000     _
 l 90       _ 9.000     _
 h:::::::::::j::::::::::::j

Noo de funo 

  No problema proposto anteriormente, h uma correspondncia entre o tempo e a distncia percorrida por 
Osias em sua corrida diria. A cada tempo corresponde uma nica distncia. 
<p>
  A distncia percorrida  funo do tempo da corrida, porque para cada valor do tempo fica determinado um nico valor da distncia. 
  Nesse exemplo, *x* representa o tempo em minutos e *y* representa a distncia em metros. 
  Ento temos: 
 y=100.x 
  Dizemos que *y*  a funo de *x* dada pela frmula y=100x. 
  Note que a cada valor de *x* corresponde um nico valor de *y*. Por exemplo: 
 para x=15: 
 y=100x=100`.15=1.500 
 para x=25:
 y=100x=100`.25=2.500 
<251>
 para x=48:
 y=100x=100`.48=4.800 

  Quando h correspondncia entre duas grandezas *x* e *y*, de modo que para cada valor de *x* fica determinado um nico valor de *y*, dizemos que *y*  funo de *x*. 
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
1. Responda: 
a) Numa prova de 20 testes, cada um valendo 5 pontos, que nota vai tirar um aluno que acertar: 
 11 testes? 
 14 testes? 
 *x* testes?  
b) A nota *y* depende do nmero *x* de testes acertados. *y*  funo de *x*? Por qu? 

2. O preo pago para tirar xerox numa papelaria  funo do nmero de cpias tiradas. At dez cpias, paga-se R$0,25 cada uma. A partir da 11 cpia pagam-se R$2,50 pelas dez primeiras e mais R$0,20 para cada cpia excedente: 
<p>
a) Quanto uma pessoa vai pagar para tirar 5 cpias? E 20 cpias?  
b) Se uma pessoa tirar 50 cpias, quanto pagar, em mdia, por cpia? 

3. Um carro est viajando a 100 km por hora. 
a) Que distncia ele percorre em 2 horas? 
b) Se *y* representa o nmero de quilmetros que ele percorre em *x* horas, qual  a frmula para calcular *y*?  
c) Que distncia ele percorre em 90 minutos? 

4. Um professor prope  sua classe de 40 alunos um exerccio desafio, comprometendo-se a dividir um prmio de R$120,00 entre os acertadores. 
a) Copie a tabela em seu caderno e complete-a: 
<R->
<F+>
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l N.o de     _ Prmio de cada _
 l acertadores _ um `(R$`)        _
 r:::::::::::::w:::::::::::::::::w
 l 1          _ '''             _
 l 2          _ '''             _
 l 5          _ '''             _
 l '''         _ 15,00          _
 l '''         _ 6,00           _
 l 40         _ '''             _
 h:::::::::::::j:::::::::::::::::j

<R+>
<F->
b) O prmio que cada acertador vai receber  funo de que varivel? 
c) Usando letras, represente a funo do item anterior por uma frmula. 

5. Use uma letra para representar a medida do lado e outra para representar a rea de um quadrado. 
a) A rea  funo do lado do quadrado. Qual  a frmula dessa funo? 
<p>
b) O lado do quadrado  funo da sua rea. Qual  a frmula dessa funo? 
c) Se um quadrado tem rea de 20 cm2, quanto mede o lado?  

6. Responda: 
a) Quantas diagonais tem um polgono de: 
 4 lados?  
 5 lados? 
 10 lados? 
 *n* lados? 
b) O nmero de diagonais de um polgono  funo do nmero de lados? Por qu? Qual  a frmula dessa funo?
<252>

7. Duas variveis, *x* e *y*, esto relacionadas pela frmula 2x+5y=10. 
a) Dado x=15, calcule *y*.   
b) Dado y=20, calcule *x*.  
c) Expresse *y* em funo de *x*.
d) Expresse *x* em funo de *y*. 
<p>
8. Duas variveis, *x* e *y*, esto relacionadas pela frmula x2+y2=100. 
a) Dado x=8, quanto vale *y*? 
b) *y*  funo de *x*? Por qu? 

9. Se *x* e *y* esto relacionados por x2-y=0, podemos concluir que: 
a) *y*  funo de *x*? Por qu? 
b) *x*  funo de *y*? Por qu?  
<F+>
<R->

A notao f`(x`) 

  A rea de um retngulo de largura *x* e comprimento x+1  funo da medida *x*.  
 rea =`(x+1`)x=x2+x 
  Simbolicamente, representando a rea por A, essa frase pode ser escrita assim: 
 A=f`(x`) 
<R+>
  (L-se: "A igual a *f* de *x*, ou A  funo de *x*".) 
<R->
  Nessa notao, damos o nome de *f* para a referida funo. 
<p>
A frmula dessa funo pode ser escrita: 
 A=x2+x 
  Ou, ento: 
 f`(x`)=x2+x 
  Note que *x*  a largura do retngulo e f`(x`)  a sua rea. 
  Vamos ver um exemplo: 

<R+>
_`[{um aluno observa o seguinte clculo num quadro verde: a=x2+x. O professor pergunta para este aluno: "Quanto vale a rea se x=4?"_`]
<R->
<253> 

  Trocando *x* por 4 na frmula da rea e calculando-a, obtemos: 
 A=x2+x=42+4=20 
  Ou, ento: 
 f`(4`)=42+4=16+4=20 
  Para x=4 a rea do retngulo  20, e f`(4`)  a rea do retngulo quando x=4. 
  Vejamos outro exemplo. 
  Se uma funo  dada pela frmula f`(x`)=?1+2x*~?2+x*:
<R+>
<F->
<p>
a) qual  o valor de *f* para x=8? 
b) quanto  f`(3`)? 
<F+>
<R->
  Para responder, substitumos o valor de *x* na frmula dada: 
<R+>
<F->
a) Para x=8, temos:
f`(8`)=?1+2.8*~?2+8*=
  =?1+16*~10=17~10=1,7
f`(8`)=1,7
b) f`(3`)  o valor da funo para x=3. Ento:
f`(3`)=?1+2.3*~?2+3*=
  =?1+6*~5=7~5=1,4
f`(3`)=1,4 
<F+>
<R->

Exerccios

<R+>
<F->
10. Contando a partir de certo instante, a distncia percorrida por um carro  funo do tempo decorrido. Em *x* minutos ele 
  percorre a distncia f`(x`) 
  metros, dada pela frmula 
  f`(x`)=10x2+1.000x. 
a) Calcule a distncia percorrida em 10 minutos. 
b) Calcule f`(60`) e d uma interpretao para o resultado.  
c) Em quanto tempo o carro ter percorrido 200 quilmetros?  

11. O volume de gua num recipiente cilndrico  funo da altura da gua. Se a altura  *x* centmetros, o volume  f`(x`) litros, dado por f`(x`)=`(0,10`)x. 
a) Qual  o volume de gua se a altura  15 cm? 
b) Quanto  f`(10`)? O que representa?  
c) Qual deve ser a altura para haver 2 L de gua no recipiente? 

12. Dada a funo f`(x`)=
  =1~?x+1*, calcule, se existir: 
a) f`(-2`)
b) f`(#:e`)
c) f`(3`) 
d) f`(-1`) 
<254>

13. Dada a funo f`(x`)=x~2-
  -2~x, calcule o valor de f`(#;e`)-f`(-#,aj`). 
<p>
14. Dada a funo f`(x`)=3x2-
  -7x+15, calcule: 
a) f`(0`)-f`(1`)+f`(-1`) 
b) f`(2+1`) 

15. O volume de uma esfera (bola) de raio *x* cm  V`(x`) cm3, dado por V`(x`)=
  =#c^px3.
1 cm3=1 mL
a) Qual  o volume de uma bola de 24 cm de dimetro? Use ^p=3 e d um valor aproximado do volume em litros.
b) Quanto  V`(3`)? O que representa? 
<F+>
<R->

Desafio 

A conta de gua 

  Jaiminho mora na cidade de Porto Azul. 
  Em Porto Azul a conta de gua de toda casa tem valor mnimo de R$9,00 e d direito ao uso de at 10 m3 de gua. 
<p>
  Para estimular a economia no consumo de gua, a prefeitura e a companhia de saneamento local estabeleceram que, quando o consumo ultrapassar essa medida, so acrescentados: 
<R+>
 R$2,00 por m3, para os primeiros 10 m3 excedentes; 
 R$3,00 por m3, para os prximos 10 m3 excedentes; 
 R$5,00 por m3, para o consumo que ultrapassar 30 m3. 
<R->
  Na casa de Jaiminho o valor da conta foi de R$53,00. Quantos metros cbicos de gua eles consumiram naquele ms? 

Representao grfica da funo
 
Recordando o sistema cartesiano 

  J aprendemos a representar os nmeros reais em uma reta: cada ponto da reta corresponde a um nmero real, e cada nmero real corresponde a um ponto na reta. 
<255>
<p>
  Tambm aprendemos a representar pares ordenados de nmeros reais pelos pontos de um plano em que fixamos um sistema de coordenadas. 
  O par `(3,#b`)  representado no ponto A, que encontramos assim: 
<R+>
 partindo do zero, caminhamos trs unidades no eixo *x*, para a direita; 
 da, caminhamos duas unidades paralelamente ao eixo *y*, para cima. 
<R->

<F->
          y_
           _         
         2wA
           _         _
         1w         _
           _         _
:w:::w:::w:w:w:::w:::w:::o
-2 -1  0_ 1  2  3  x
           _
        -1w
           _
        -2w 
           _
<p>
  O par `(-2,-#a`)  representado no ponto B, assim obtido: 
<R+>
 partindo do zero, caminhamos duas unidades no eixo *x*, para a esquerda; 
 da, caminhamos uma unidade paralelamente ao eixo *y*, para baixo. 
<R->

          y_
           _         
         2w
           _
         1w
           _
::w:::w::w:w:::w:::w:::w:::o
 -2 -1 0_   1  2  3  x
   {       _
   {'''''''#-1
   B      _
           w-2
           _
 
  Veja outros exemplos: 
<F->
C`(3,#j`) 
D`(0,#b`) 
<p>
E`(-2,#a`) 
F`(1,-#b`) 
<F+>

<F->
          y_
           _         
         2wD
   E      _
   {aaaaaaaw1 
   {       _          C
:w:::w:::w:w::w:::w:::w:::o
-2 -1  0_  {1 2  3  x
           _  _
        -1w  _
           _  _
        -2w#
           _ F
          
<F+>
  Vamos recordar tambm a nomenclatura associada ao sistema cartesiano: 
<R+>
<p>
 o eixo *x*  o eixo das abscissas; 
 o eixo *y*  o eixo das ordenadas; 
 o ponto O, em que representamos `(0,#j`),  a origem do sistema de coordenadas; 
 em um par ordenado, chama-se abscissa a primeira coordenada (o primeiro nmero na ordem de leitura) e ordenada a segunda coordenada (o segundo nmero na ordem de leitura); 
 os eixos *x* e *y* dividem o plano em quatro regies denominadas quadrantes e numeradas como na figura seguinte. 
<R->
<256>
<p>
<F->
            y_
             _           A
           2w'''''''''''
     E      _           {
     '''''1w           {
     {       _           {
:::w:::w:::w:w:::w:::w:::w:::o
-2{  -1  0_   {1 2  3  x
   {         _   {
   {''''''-1w   {
   B        _   {
          -2w{
             _   F
<F+>

  O ponto A est no 1 quadrante; E, no 2 quadrante; B, no 3 quadrante; e F no 4 quadrante. 
<R+>
 O sistema de coordenadas  chamado sistema cartesiano, em homenagem a Ren Descartes (1596-1650), matemtico e filsofo francs considerado pai da filosofia moderna e autor do 
<p>
  *Discurso sobre o mtodo para raciocinar bem e procurar a 
  verdade nas cincias*. 
<R->

Exerccios

<R+>
<F->
16. Represente estes pares ordenados em um sistema cartesiano: 
A=`(4,#c`)  
B=`(1,#e`)    
C=`(-3,#a`)
D=`(-2,-#d`)
E=`(3,-#b`) 
F=`(1,-#a`)
G=`(-1,#d`)
H=`(-4,#j`)
I=`(0,-#e`) 
J=`(2,#;e`) 
<F+>
<R->

<R+>
_`[{para os exerccios 17 a 19, pea orientao ao professor_`]

<F->
17. D as coordenadas dos vrtices de cada polgono _`[no representado_`]. 
<p>
18. No polgono do item a) do exerccio 17.: 
a) que vrtice tem a mesma abscissa que o ponto B?  
b) que vrtice tem a mesma ordenada que o ponto E?  
c) que vrtice  o simtrico de A em relao ao eixo *y*?  
d) que vrtice  o simtrico de A em relao  origem `(0,#j`)?  

19. No polgono do item b) do exerccio 17., determine: 
a) o vrtice que tem a maior ordenada;    
b) o vrtice que tem a mesma abscissa que C;    
c) o vrtice que tem a mesma ordenada que F;   
d) o simtrico de B em relao ao eixo *x*;    
e) o simtrico de B em relao ao eixo *y*;
f) os vrtices de ordenada positiva;
<p>
g) os vrtices de ordenada negativa;
h) os vrtices de ordenada nula.
<257>

20. Em que quadrante se representa cada par ordenado? 
`(3,#g`), `(-11,-#e`), `(50,-#=c`), `(-#,b,5`), `(2,#,aj`), `(1+3,-3`)  

21. Atenda ao que se pede em cada item: 
a) Em cada caso, desenhe o segmento de reta ^c?{a{b* e seu ponto mdio M e d as coordenadas de M. 
 A=`(2,#c`) e B=`(10,#c`)  
 A=`(1,#h`) e B=`(5,#b`)  
 A=`(2,#a`) e B=`(6,#g`) 
 A=`(3,#a`) e B=`(3,#aa`)
b) Que relao existe entre a abscissa de M e as abscissas de A e B?  
c) Que relao existe entre as ordenadas? 
<F+>
<R->
<p>
O crescimento do Jnior 

  Os pais de Lucas Jnior registraram a idade e as medidas da altura do filho, obtidas no incio de cada ano letivo, desde que ele ingressou no ensino fundamental. 
  Observe os dados na tabela a seguir. 

 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 l idade (anos) _ altura `(cm`)   _
 r::::::::::::::::w:::::::::::::::w
 l 6             _ 115          _
 l 7             _ 122          _
 l 8             _ 128          _
 l 9             _ 134          _
 l 10            _ 138          _
 l 11            _ 142          _
 l 12            _ 148          _
 l 13            _ 155          _
 l 14            _ 165          _
 h::::::::::::::::j:::::::::::::::j
<p>
Voc sabia?

  Em mdia, os meninos crescem at 21 anos, e as meninas, at os 18 anos.

  A cada idade do Jnior corresponde uma nica altura; assim, podemos dizer que a altura  funo da idade. 

Grfico de uma funo 

  A altura de Lucas em funo de sua idade pode ser representada em um grfico _`[no representado_`]: cada par ordenado ("idade"; "altura") da tabela fica representado por um ponto; esses pontos formam o grfico da funo. 
<258>
  Vamos fazer o grfico de uma funo dada por uma frmula. Veja: 
 y=x 
  Em que *y* representa o lado de um quadrado de rea *x*. 
<p>
  Para representar a frmula graficamente, formamos uma tabela de pontos, atribuindo valores a *x* e calculando os correspondentes valores de *y*. 

<R+>
<F->
_`[{tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 Coluna: valor atribudo a *x*;
2 Coluna: valor calculado para *y*;
3 Coluna: coordenadas do ponto do grfico.
<F+>
<R->

 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l 1_ 2           _ 3       _
 r::::w:::::::::::::::w:::::::::::w
 l 1 _ y=1=1     _ `(1,#a`)   _
 l 2 _ y=2^=1,4  _ (2,2) _
 l 4 _ y=4=2     _ `(4,#b`)   _
 l 9 _ y=9=3     _ `(9,#c`)   _
 l 16_ y=16=4    _ `(16,#d`)  _
 h::::j:::::::::::::::j:::::::::::j

  Podem ser atribudos a *x* valores compreendidos entre os da tabela anterior, inclusive no inteiros. Isso nos dar mais pontos do grfico, compreendidos entre os que j temos. 

 !:::::::::::::::::::::::
 l x      _ y=x         _
 r::::::::w:::::::::::::::w
 l 3     _ 3^=1,73   _
 l 5     _ 5^=2,24   _
 l 6,25  _ 2,5          _
 l 8     _ 22^=2,83 _
 l 10,24 _ 3,2          _
 l 12,25 _ 3,5          _
 l 14    _ 14^=3,74  _
 h::::::::j:::::::::::::::j

  Tambm podemos atribuir a *x* valores maiores que 16, e menores que 1, desde que no negativos. Note que se x=0, y=0=0. 
  Considerando que a funo y=x pode ser calculada para qualquer real *x* no negativo, seu grfico _`[no representado_`]  uma linha contnua partindo de `(0,#j`). 
<259>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 22 a 25, pea orientao ao professor_`]

22. Um camundongo percorre um labirinto em 15 minutos na primeira tentativa; em 9 minutos na segunda tentativa; em 7 minutos na terceira tentativa, e assim por diante; na n-sima tentativa ele gasta `(3+12~n`) minutos. Faa o grfico do tempo *t*, gasto na n-sima tentativa, em funo de *n*, n=1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
23. Para cada *x* positivo, vamos considerar um quadrado de lado *x* _`[no representado_`]. A diagonal *d* e a rea A do tringulo que ela forma com dois dos lados do quadrado so funes de *x*. Faa os grficos dessas funes. 
<p>
24. Duas grandezas, *x* e *y*, esto relacionadas pela frmula 
  xy-x=10, sendo *x* e *y* positivos. 
a) Expresse *y* em funo de *x*.  
b) Obtenha alguns pontos do grfico da funo e ligue-os por uma linha contnua. 

25. Faa o grfico da funo y=x3, sendo *x* um nmero real qualquer. 

26. O grfico a seguir representa como o Sr. Joo Soares foi engordando, desde que nasceu at sua idade atual. Analisando o grfico, diga quanto o Sr. Joo pesava: 
<F+>
<R->

<R+>
_`[{grfico adaptado, massa (quilos) foi representado por m.q. e idade (anos) por *i*_`]
<R->
<p>
<F->
m.ql
   l
   l
70pcccccccccccccoccoccocc
60pccccccccco        
50l                 
40pccccco          
30l               
20pco              
10l              
   l             
:::h:::::::::::::::::::::::::::::o    
0 l 5 10 15 20 25 30 35  i
<F+>

<F->
<R+>
a) quando ele tinha 5 anos;  
b) aos 10 anos; 
c) aos 15 anos;  
d) dos 20 aos 35 anos.  
<R->
<F+>

Reconhecendo o grfico de uma 
  funo 

  Quando *y*  funo de *x*, para cada valor possvel de *x* corresponde um nico valor de *y*; logo, um nico ponto `(x,y`) do grfico. 
<F->
<p>
 y_     
  _     
  _       {`(x,y`)
  _       { 
  _       {
::w:::::::j:::::::::o
  _       x         x 
  _
<F+>
<260>

  Uma circunferncia, por exemplo, no pode ser o grfico de uma funo, pois com uma mesma abscissa *x* podemos encontrar dois pontos na curva. 

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 27 e 28, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
27. Observe cada grfico _`[no representado_`] e diga em quais deles *y*  funo de *x*. 
28. A seguir, _`[no esto representados_`] os grficos de algumas funes de uma grandeza *x* 
<p>
  que tem medidas de 1 a 5. De quanto a quanto variam os valores de *y*? 
<F+>
<R->

Desafios 

Caminhos e possibilidades 

  Na figura _`[no representada_`], temos representadas 9 quadras de um bairro da cidade. Em A mora Jos Renato, que estuda num colgio situado em B. A linha pontilhada indica um dos caminhos que ele pode seguir para ir de A at B. 
  Quantos caminhos diferentes, com o mesmo comprimento que o j traado, existem para Jos 
 Renato ir de A a B? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<261>
<p>
Passeio turstico 

  O nmero *y* de visitantes de um monumento, desde sua inaugurao, ocorrida em 1990, at *x* anos depois, tem sido dado, aproximadamente, por y=xx milhares de pessoas. 
<R+>
<F->
a) At 2006, quantas pessoas visitaram o monumento?  
b) Quantas pessoas o visitaram em 2006? 
<F+>
<R->

Matemtica em notcia

<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas "Avanos no mercado de trabalho" adaptado na forma de tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 Coluna: ano;
2 Coluna: taxa de desemprego (em porcentagem) (*);
3 Coluna: rendimento mdio real do trabalhador (em reais) (*).
<F+>
<R->
<p>
 !::::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2  _ 3     _
 r:::::::w::::::w:::::::::w
 l 1992 _ 6,5 _ 714    _
 l 1993 _ 6,2 _ 771    _
 l 1995 _ 6,1 _ 996    _
 l 1996 _ 7,0 _ 1.023  _
 l 1997 _ 7,8 _ 1.011  _
 l 1998 _ 9,0 _ 1.003  _
 l 1999 _ 9,6 _ 932    _
 l 2001 _ 9,4 _ 921    _
 l 2002 _ 9,2 _ 899    _
 l 2003 _ 9,7 _ 831    _
 l 2004 _ 9,0 _ 831    _
 l 2005 _ 9,4 _ 869    _
 l 2006 _ 8,5 _ 932    _
 l 2007 _ 8,2 _ 960    _
 h:::::::j::::::j:::::::::j

<F+>
<R+>
<F->
(*) Excluindo a rea rural da Regio Norte (Rondnia, Acre, Amazonas, Roraima, 
  Par, Amap).
Obs: Nos anos de 1994 e 2000, a Pnad no foi realizada.

Fonte: *IBGE*
<F+>
<R->

<R+>
_`[{grfico de linhas "Evoluo da renda por atividade, em R$" adaptado; as informaes obedecero a seguinte sequncia_`]
<F->
sequncia:
ano: empregadores; empregados; trabalhadores por conta prpria; trabalhadores domsticos
1992: 2.104; 704; 569; 193
1996: 3.524; 934; 924; 306
1999: 2.944; 888; 763; 298
2003: 2.591; 795; 659; 276
2005: 2.864; 891; 706; 318
2007: 2.863; 919; 795; 332

(Fonte: *Folha de S. Paulo*, 19/09/2008.)
<F+>
<R->

<F->
<R+>
_`[{grfico de linhas "Mais consumo no Nordeste", destacando o consumo residencial de eletricidade em mil Gwh, adaptado na forma de tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 Coluna: Ano;
2 Coluna: Nordeste;
3 Coluna: Sul.

!:::::::::::::::::::::::
l 1    _ 2    _ 3   _
r::::::::w::::::::w:::::::w
l 2003  _ 11,1  _ 13,0 _
l 2004  _ 12,4  _ 13,2 _
l 2005  _ 13,5  _ 13,9 _
l 2006  _ 14,0  _ 14,1 _
l 2007  _ 15,0  _ 15,0 _
l 2008  _ 15,0  _ 15,4 _
h::::::::j::::::::j:::::::j
<R->
<F+>

  49% dos novos consumidores ligados  rede eltrca, 20% por meio do programa luz para todos de 2004 a 2008 so do Nordeste.
  53% foi quando o Nordeste recebeu dos programas de transferncias de Renda Federais em 2006.

<R+>
(Fonte: *Folha de S. Paulo*, 10/07/2008.)
<R->

  Analise os grficos publicados nos jornais e responda s questes. 
<R+>
<F->
a) Em que ano ocorreu a menor taxa de desemprego? E a maior?  
<p>
b) Em que ano o rendimento mdio real do trabalhador foi maior? Da em diante, at que ano esse rendimento foi diminuindo?  
c) Em que setor de atividade a renda mxima no ocorreu no mesmo ano dos demais setores? 
d) Em que ano o consumo residencial de eletricidade na regio Nordeste superou o da regio Sul?  
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Sexta Parte
